ERCEIRA QUANTIZAÇÃO PELO SDCTIE GRACELI

TRANS-QUÂNTICA SDCTIE GRACELI, TRANSCENDENTE, RELATIVISTA SDCTIE GRACELI, E TRANS-INDETERMINADA.

FUNDAMENTA-SE EM QUE TODA FORMA DE REALIDADE SE ENCONTRA EM TRANSFORMAÇÕES, INTERAÇÕES, TRANSIÇÕES DE ESTADOS [ESTADOS DE GRACELI], ENERGIAS E FENÔMENOS DENTRO DE UM SISTEMA DE DEZ OU MAIS DIMENSÕES DE GRACELI, E CATEGORIAS DE GRACELI.

FUNÇÃO GERAL GRACELI DA TRANS- INDETERMINALIDADE PELO SDCTIE GRACELI

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DO SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE  INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS, DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.  E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =

TRANSFORMAÇÕES ⇔ INTERAÇÕES  ⇔  TUNELAMENTO ⇔ EMARANHAMENTO ⇔ CONDUTIVIDADE  ⇔ DIFRAÇÕES ⇔ estrutura eletrônica, spin, radioatividade, ABSORÇÕES E EMISSÕES INTERNA ⇔  Δ de temperatura e dinâmicas, transições de estados quântico Δ ENERGIAS,  ⇔   Δ MASSA ,   ⇔ Δ  CAMADAS ORBITAIS ,  ⇔  Δ FENÔMENOS  ,  ⇔  Δ  DINÂMICAS,   ⇔  Δ  VALÊNCIAS,   ⇔  Δ BANDAS,  Δ  entropia e de entalpia,  E OUTROS.  

x

 [EQUAÇÃO DE DIRAC].

 + FUNÇÃO TÉRMICA.

   +    FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

  ,      +   FUNÇÃO DE TUNELAMENTO QUÂNTICO.

  + ENTROPIA REVERSÍVEL 

+      FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

 ENERGIA DE PLANCK

X

• 
  V [R] [MA] =  Δe,M, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......

  ΤDCG

  X

  Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......  =
  x
  

  sistema de dez dimensões de Graceli + 

  DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.[como, spins, posicionamento, afastamento, ESTRUTURA ELETRÔNICA, e outras já relacionadas]..
• 
  
• DIMENSÕES DE FASES DE ESTADOS DE TRANSIÇÕES DE GRACELI.
  

  x

  sistema de transições de estados, e estados  de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia. [estados de transições de fases de estados de estruturas, quântico, fenomênico, de energias, e dimensional [sistema de estados de Graceli].

  x

número atômico, estrutura eletrônica, níveis de energia 

[comprimento de onda (λ).

onde c, velocidade da luz, é igual a .]

X

• TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI.
• X
• CATEGORIAS DE GRACELI
• T l    T l     E l       Fl         dfG l   

  N l    El                 tf l

  P l    Ml                 tfefel 

  Ta l   Rl

           Ll
           D

A difração de elétrons refere-se à natureza das ondas dos elétrons . No entanto, de um ponto de vista técnico ou prático, pode ser considerada uma técnica usada para estudar a matéria disparando elétrons em uma amostra e observando o padrão de interferência resultante . Esse fenômeno é conhecido como dualidade onda-partícula , que afirma que uma partícula de matéria (neste caso o elétron incidente) pode ser descrita como uma onda. Por esse motivo, um elétron pode ser considerado uma onda muito parecida com ondas sonoras ou aquáticas. Essa técnica é semelhante à difração de raios X e nêutrons .

A difração de elétrons é mais frequentemente usada na física e na química do estado sólido para estudar a estrutura cristalina dos sólidos. As experiências são geralmente realizadas em um microscópio eletrônico de transmissão (TEM) ou em um microscópio eletrônico de varredura (MEV) como difração de retrodispersão de elétrons . Nesses instrumentos, os elétrons são acelerados por um potencial eletrostático para obter a energia desejada e determinar seu comprimento de onda antes de interagirem com a amostra a ser estudada.

A estrutura periódica de um sólido cristalino atua como uma grade de difração , espalhando os elétrons de maneira previsível. Retornando do padrão de difração observado , pode ser possível deduzir a estrutura do cristal que produz o padrão de difração. No entanto, a técnica é limitada pelo problema de fase .

Além do estudo de cristais "periodicamente perfeitos", isto é, cristalografia eletrônica , a difração de elétrons também é uma técnica útil para estudar a ordem de curto alcance de sólidos amorfos , a ordem de curto alcance de imperfeições, como vagas, ^[1] a geometria das moléculas gasosas. e as propriedades do pedido de vagas a curto prazo.

História [ editar ]

Lester Germer (à direita) com Clinton Davisson em 1927

A hipótese de De Broglie , formulada em 1924, prevê que as partículas também devem se comportar como ondas. A fórmula de De Broglie foi confirmada três anos depois para elétrons (que têm massa em repouso) com a observação da difração de elétrons em dois experimentos independentes. Na Universidade de Aberdeen , George Paget Thomson e seu colega A Reid passaram um feixe de elétrons através de uma fina película de celulóide e observaram os padrões de interferência previstos. ^[2] Na mesma época, nos Laboratórios Bell , Clinton Joseph Davisson e Lester Halbert Germer guiaram seus raios através de uma grade cristalina (veja o experimento Davisson – Germer) Em 1937, Thomson e Davisson compartilharam o Prêmio Nobel de Física por sua descoberta (independente).

Teoria [ editar ]

Interação eletrônica com a matéria [ editar ]

Ao contrário de outros tipos de radiação usados ​​nos estudos de difração de materiais, como raios X e nêutrons , os elétrons são partículas carregadas e interagem com a matéria através das forças de Coulomb . Isso significa que os elétrons incidentes sentem a influência dos núcleos atômicos carregados positivamente e dos elétrons circundantes. Em comparação, os raios X interagem com a distribuição espacial dos elétrons de valência, enquanto os nêutrons são espalhados pelos núcleos atômicos através das fortes forças nucleares . Além disso, o momento magnético dos nêutrons é diferente de zero e, portanto, eles também são espalhados por campos magnéticos. Devido a essas diferentes formas de interação, os três tipos de radiação são adequados para diferentes estudos.

Intensidade de feixes difratados [ editar ]

Na aproximação cinemática para difração de elétrons, a intensidade de um feixe difratado é dada por:

$${\ displaystyle I _ {\ mathbf {g}} = \ left | \ psi _ {\ mathbf {g}} \ right | ^ {2} \ propto \ left | F _ {\ mathbf {g}} \ right | ^ { 2}.}

X

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Aqui $${\ displaystyle \ psi _ {\ mathbf {g}}} é a função de onda do feixe difratado e $${\ displaystyle F _ {\ mathbf {g}}}é o chamado fator de estrutura que é dado por:

$${\ displaystyle F _ {\ mathbf {g}} = \ sum _ {i} f_ {i} e ^ {- 2 \ pi i \ mathbf {g} \ cdot \ mathbf {r} _ {i}}}

X

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Onde $${\ displaystyle \ mathbf {g}} é o vetor de espalhamento do feixe difratado, $${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {i}} é a posição de um átomo $${\ displaystyle i} na célula unitária e $${\ displaystyle f_ {i}}é o poder de dispersão do átomo, também chamado de fator de forma atômica . A soma está acima de todos os átomos na célula unitária.

O fator de estrutura descreve a maneira pela qual um feixe incidente de elétrons é espalhado pelos átomos de uma célula unitária de cristal, levando em consideração as diferentes potências de dispersão dos elementos através do fator $${\ displaystyle f_ {i}}. Como os átomos estão espacialmente distribuídos na célula unitária, haverá uma diferença de fase ao considerar a amplitude dispersa de dois átomos. Essa mudança de fase é levada em consideração pelo termo exponencial na equação.

O fator de forma atômica, ou poder de dispersão, de um elemento depende do tipo de radiação considerada. Como os elétrons interagem com a matéria através de processos diferentes dos raios X, por exemplo, os fatores de forma atômica para os dois casos não são os mesmos.

Comprimento de onda dos elétrons [ editar ]

O comprimento de onda de um elétron é dado pela equação de Broglie

$${\ displaystyle \ lambda = {\ frac {h} {p}}.}

X

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Aqui $${\ displaystyle h}é constante de Planck e$${\ displaystyle p} o momento relativístico do elétron. $${\ displaystyle \ lambda}é chamado de comprimento de onda de De Broglie. Os elétrons são acelerados em um potencial elétrico$${\ displaystyle U} para a velocidade desejada:

$${\ displaystyle v = {\ sqrt {\ frac {2eU} {m_ {0}}}}}

X

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$${\ displaystyle m_ {0}} é a massa do elétron e $${\ displaystyle e}é a carga elementar. O comprimento de onda do elétron é então dado por:

$${\ displaystyle \ lambda = {\ frac {h} {p}} = {\ frac {h} {m_ {0} v}} = {\ frac {h} {\ sqrt {2m_ {0} eU}}} .}

X

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No entanto, em um microscópio eletrônico, o potencial de aceleração é geralmente de vários milhares de volts, fazendo com que o elétron viaje a uma fração apreciável da velocidade da luz. Um SEM pode tipicamente operar com um potencial de aceleração de 10.000 volts (10 kV), dando uma velocidade de elétron aproximadamente 20% da velocidade da luz, enquanto um TEM típico pode operar a 200 kV, aumentando a velocidade do elétron para 70% a velocidade da luz. Portanto, precisamos levar em consideração os efeitos relativísticos . A relação relativística entre energia e momento é E ² = p ² c ² + m ₀ ² c ^4 [3] e pode ser demonstrado que,

$${\ displaystyle p = {\ sqrt {2m_ {0} \ Delta E + {\ frac {\ Delta E ^ {2}} {c ^ {2}}}}} = {\ sqrt {2m_ {0} \ Delta E }} {\ sqrt {1 + {\ frac {\ Delta E} {2m_ {0} c ^ {2}}}}}}

X

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onde ΔE = E - E ₀ = eU. A fórmula relativística para o comprimento de onda é então modificada para se tornar,

$${\ displaystyle \ lambda = {\ frac {h} {\ sqrt {2m_ {0} eU}}} {\ frac {1} {\ sqrt {1 + {\ frac {eU} {2m_ {0} c ^ { 2}}}}}}}

X

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$${\ displaystyle c}é a velocidade da luz. Reconhecemos o primeiro termo nesta expressão final como a expressão não relativística derivada acima, enquanto o último termo é um fator de correção relativista. O comprimento de onda dos elétrons em um SEM de 10 kV é então 12,2 x ^10-12 m (12,2 pm) enquanto em um TEM de 200 kV o comprimento de onda é de 2,5 pm. Em comparação, o comprimento de onda dos raios X normalmente usado na difração de raios X é da ordem de 100 pm (Cu Kα: λ = 154 pm).

Em gases [ editar ]

Artigo principal: Difração de elétrons a gás

Os objetos mais simples para a difração de elétrons são átomos ou moléculas livres, como os encontramos nos gases. O método de difração de gás elétron (GED) foi desenvolvido nos laboratórios da empresa BASF nos anos 30 por Herman Mark e Wierl e foi amplamente introduzido na elucidação estrutural em química por Linus Pauling .

Benefícios da difração de gás

A difração de elétrons gasosos (GED) é um dos dois principais métodos (além da espectroscopia de microondas) para determinação da estrutura tridimensional das moléculas. Ele foi aplicado a muitos milhares de objetos e fornece medidas precisas de comprimentos de ligação, ângulos e ângulos de torção.

Teoria da difração de gás

O GED pode ser descrito pela teoria de espalhamento. O resultado, se aplicado a gases com moléculas orientadas aleatoriamente, é fornecido aqui em resumo:

A dispersão ocorre em cada átomo individual ($${\ displaystyle I_ {a} (s)}), mas também em pares (também chamados de espalhamento molecular, $${\ displaystyle I_ {m} (s)}) ou triplos ($${\ displaystyle I_ {t} (s)}) de átomos.

$${\ displaystyle s} é a variável de dispersão ou alteração do momento do elétron e seu valor absoluto definido como

$${\ displaystyle \ mid s \ mid = {\ frac {4 \ pi} {\ lambda}} \ sin (\ theta / 2)}

X

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com $${\ displaystyle \ lambda}sendo o comprimento de onda do elétron definido acima e $${\ displaystyle \ theta}sendo o ângulo de dispersão.

As contribuições da dispersão somam a dispersão total ($${\ displaystyle I_ {tot} (s)}):

$${\ displaystyle I_ {tot} (s) = I_ {a} (s) + I_ {m} (s) + I_ {t} (s) + I_ {b} (s)}, através do qual ($${\ displaystyle I_ {b} (s)} é a intensidade do fundo experimental, necessária para descrever completamente o experimento

A contribuição da dispersão de átomos individuais é chamada dispersão atômica e fácil de calcular.

$${\ displaystyle I_ {a} (s) = {\ frac {K ^ {2}} {R ^ {2}}} I_ {0} \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ mid f_ {i } (s) \ mid ^ {2}} com $${\ displaystyle K = {\ frac {8 \ pi ^ {2} me ^ {2}} {h ^ {2}}}}, $${\ displaystyle R}

X

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sendo a distância entre o ponto de dispersão e o detector, $${\ displaystyle I_ {0}} sendo a intensidade do feixe de elétrons primário e $${\ displaystyle f_ {i} (s)}sendo a amplitude de dispersão do i-ésimo átomo. Em essência, é um somatório das contribuições dispersas de todos os átomos, independentemente da estrutura molecular.$${\ displaystyle I_ {a} (s)} é a principal contribuição e é facilmente obtida se a composição atômica do gás (fórmula da soma) for conhecida.

A contribuição mais interessante é a dispersão moleculkar, porque contém informações sobre a distância entre todos os pares de átomos em uma molécula (ligada ou não)

$${\ displaystyle I_ {m} (s) = {\ frac {K ^ {2}} {R ^ {2}}} I_ {0} \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ sum _ {j = 1, i \ neq j} ^ {N} \ médio f_ {i} (s) \ médio \ médio f_ {j} (s) \ médio {\ frac {\ sin [s (r_ {ij} - \ kappa s ^ {2})]} {sr_ {ij}}} e ^ {- (1 / 2l_ {ij} s ^ {2})} \ cos [\ eta _ {i} (s) - \ eta _ { é)]}

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com $${\ displaystyle r_ {ij}} sendo o parâmetro de interesse principal: a distância atômica entre dois átomos, $${\ displaystyle l_ {ij}} sendo a amplitude quadrada média da vibração entre os dois átomos, $${\ displaystyle \ kappa} a constante de anarmonicidade (corrigindo a descrição da vibração para desvios de um modelo puramente harmônico) e $${\ displaystyle \ eta}é um fator de fase que se torna importante se um par de átomos com carga nuclear muito diferente estiver envolvido.

A primeira parte é semelhante à dispersão atômica, mas contém dois fatores de dispersão dos átomos envolvidos. A soma é realizada sobre todos os pares de átomos.

$${\ displaystyle I_ {t} (s)} é insignificante na maioria dos casos e não é descrito aqui em mais detalhes e $${\ displaystyle I_ {b} (s)} é determinado principalmente ajustando e subtraindo funções suaves para explicar a contribuição em segundo plano.

Portanto, é a dispersão molecular que interessa, e isso é obtido calculando todas as outras contribuições e subtraindo-as da função de dispersão total medida experimentalmente.

The Klein–Nishina formula^[1] gives the differential cross section of photons scattered from a single free electron in lowest order of quantum electrodynamics. At low frequencies (e.g., visible light) this yields Thomson scattering; at higher frequencies (e.g., x-rays and gamma-rays) this yields Compton scattering.

For an incident unpolarized photon of energy ${\displaystyle E_{\gamma }}$, the differential cross section is:^[2]

${\displaystyle {\frac {d\sigma }{d\Omega }}={\frac {1}{2}}\alpha ^{2}r_{c}^{2}P(E_{\gamma },\theta )^{2}[P(E_{\gamma },\theta )+P(E_{\gamma },\theta )^{-1}-\sin ^{2}(\theta )]}$

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where ${\displaystyle {\frac {d\sigma }{d\Omega }}}$ is a differential cross section, ${\displaystyle d\Omega }$ is an infinitesimal solid angle element, ${\displaystyle \alpha }$ is the fine structure constant (~1/137.04), ${\displaystyle \theta }$ is the scattering angle; ${\displaystyle r_{c}=\hbar /m_{e}c}$ is the "reduced" Compton wave length of the electron (~0.38616 pm); ${\displaystyle m_{e}}$ is the mass of an electron (~511 keV${\displaystyle /c^{2}}$); and ${\displaystyle P(E_{\gamma },\theta )}$ is the ratio of photon energy after and before the collision:

${\displaystyle P(E_{\gamma },\theta )={\frac {1}{1+(E_{\gamma }/m_{e}c^{2})(1-\cos \theta )}}={\frac {\lambda }{\lambda '}}}$

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FUNÇÃO GERAL GRACELI DA TRANS- INDETERMINALIDADE PELO SDCTIE GRACELI

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Note that this result may also be expressed in terms of the classical electron radius ${\displaystyle r_{e}=\alpha r_{c}}$:

${\displaystyle {\frac {d\sigma }{d\Omega }}={\frac {1}{2}}r_{e}^{2}\left({\frac {\lambda }{\lambda '}}\right)^{2}\left[{\frac {\lambda }{\lambda '}}+{\frac {\lambda '}{\lambda }}-\sin ^{2}(\theta )\right]}$

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FUNÇÃO GERAL GRACELI DA TRANS- INDETERMINALIDADE PELO SDCTIE GRACELI

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While this classical quantity is not particularly relevant in quantum electrodynamics, it is easy to appreciate: in the forward direction (for ${\displaystyle \theta }$ ~ 0), photons scatter off electrons as if these were about ${\displaystyle r_{e}=\alpha r_{c}}$ (~2.8179 fm) in linear dimension, and ${\displaystyle r_{e}^{2}}$ (~ 7.9406x10⁻³⁰ m² or 79.406 mb) in size.

If the incoming photon is polarized, the scattered photon is no longer isotropic with respect to the azimuthal angle. For a linearly polarized photon scattered with a free electron at rest, the differential cross section is instead given by:

${\displaystyle {\frac {d\sigma }{d\Omega }}={\frac {1}{2}}r_{e}^{2}\left({\frac {\lambda }{\lambda '}}\right)^{2}\left[{\frac {\lambda }{\lambda '}}+{\frac {\lambda '}{\lambda }}-2\sin ^{2}(\theta )\cos ^{2}(\phi )\right]}$

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where ${\displaystyle \phi }$ is the azimuthal scattering angle. Note that the unpolarized differential cross section can be obtained by averaging over ${\displaystyle \cos ^{2}(\phi )}$.

The Klein–Nishina formula was derived in 1928 by Oskar Klein and Yoshio Nishina, and was one of the first results obtained from the study of quantum electrodynamics. Consideration of relativistic and quantum mechanical effects allowed development of an accurate equation for the scattering of radiation from a target electron. Before this derivation, the electron cross section had been classically derived by the British physicist and discoverer of the electron, J.J. Thomson. However, scattering experiments showed significant deviations from the results predicted by the Thomson cross section. Further scattering experiments agreed perfectly with the predictions of the Klein–Nishina formula.

Note that if ${\displaystyle E_{\gamma }\ll m_{e}c^{2}}$, ${\displaystyle P(E_{\gamma },\theta )\rightarrow 1}$ and the Klein–Nishina formula reduces to the classical Thomson expression.

The final energy of the scattered photon, ${\displaystyle E_{\gamma }'}$, depends only on the scattering angle and the original photon energy, and so it can be computed without the use of the Klein–Nishina formula:

${\displaystyle E_{\gamma }'(E_{\gamma },\theta )=E_{\gamma }\cdot P(E_{\gamma },\theta )\,}$

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FUNÇÃO GERAL GRACELI DA TRANS- INDETERMINALIDADE PELO SDCTIE GRACELI

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Compton scattering, discovered by Arthur Holly Compton, is the scattering of a photon by a charged particle, usually an electron. It results in a decrease in energy (increase in wavelength) of the photon (which may be an X-ray or gamma ray photon), called the Compton effect. Part of the energy of the photon is transferred to the recoiling electron. Inverse Compton scattering occurs when a charged particle transfers part of its energy to a photon.

Introduction[edit]

Fig. 1: Schematic diagram of Compton's experiment. Compton scattering occurs in the graphite target on the left. The slit passes X-ray photons scattered at a selected angle. The energy of a scattered photon is measured using Bragg scattering in the crystal on the right in conjunction with ionization chamber; the chamber could measure total energy deposited over time, not the energy of single scattered photons.

Compton scattering is an example of inelastic scattering^[1] of light by a free charged particle, where the wavelength of the scattered light is different from that of the incident radiation. In Compton's original experiment (see Fig. 1), the energy of the X ray photon (≈17 keV) was very much larger than the binding energy of the atomic electron, so the electrons could be treated as being free. The amount by which the light's wavelength changes is called the Compton shift. Although nuclear Compton scattering exists,^[2] Compton scattering usually refers to the interaction involving only the electrons of an atom. The Compton effect was observed by Arthur Holly Compton in 1923 at Washington University in St. Louis and further verified by his graduate student Y. H. Woo in the years following. Compton earned the 1927 Nobel Prize in Physics for the discovery.

The effect is significant because it demonstrates that light cannot be explained purely as a wave phenomenon. ^[3] Thomson scattering, the classical theory of an electromagnetic wave scattered by charged particles, cannot explain shifts in wavelength at low intensity: classically, light of sufficient intensity for the electric field to accelerate a charged particle to a relativistic speed will cause radiation-pressure recoil and an associated Doppler shift of the scattered light,^[4] but the effect would become arbitrarily small at sufficiently low light intensities regardless of wavelength. Thus, light behaves as if it consists of particles, if we are to explain low-intensity Compton scattering. Or the assumption that the electron can be treated as free is invalid resulting in the effectively infinite electron mass equal to the nuclear mass (see e.g. the comment below on elastic scattering of X-rays being from that effect). Compton's experiment convinced physicists that light can be treated as a stream of particle-like objects (quanta called photons), whose energy is proportional to the light wave's frequency.

As shown in Fig. 2, The interaction between an electron and a photon results in the electron being given part of the energy (making it recoil), and a photon of the remaining energy being emitted in a different direction from the original, so that the overall momentum of the system is also conserved. If the scattered photon still has enough energy, the process may be repeated. In this scenario, the electron is treated as free or loosely bound. Experimental verification of momentum conservation in individual Compton scattering processes by Bothe and Geiger as well as by Compton and Simon has been important in disproving the BKS theory.

Compton scattering is one of three competing processes when photons interact with matter. At energies of a few eV to a few keV, corresponding to visible light through soft X-rays, a photon can be completely absorbed and its energy can eject an electron from its host atom, a process known as the photoelectric effect. High energy photons of 1.022 MeV and above may bombard the nucleus and cause an electron and a positron to be formed, a process called pair production. Compton scattering is the most important interaction in the intervening energy region.

Description of the phenomenon[edit]

Fig. 2: A photon of wavelength ${\displaystyle \lambda }$ comes in from the left, collides with a target at rest, and a new photon of wavelength ${\displaystyle \lambda '}$ emerges at an angle ${\displaystyle \theta }$. The target recoils, carrying away an angle-dependent amount of the incident energy.

By the early 20th century, research into the interaction of X-rays with matter was well under way. It was observed that when X-rays of a known wavelength interact with atoms, the X-rays are scattered through an angle ${\displaystyle \theta }$ and emerge at a different wavelength related to ${\displaystyle \theta }$. Although classical electromagnetism predicted that the wavelength of scattered rays should be equal to the initial wavelength,^[5] multiple experiments had found that the wavelength of the scattered rays was longer (corresponding to lower energy) than the initial wavelength.^[5]

In 1923, Compton published a paper in the Physical Review that explained the X-ray shift by attributing particle-like momentum to light quanta (Einstein had proposed light quanta in 1905 in explaining the photo-electric effect, but Compton did not build on Einstein's work). The energy of light quanta depends only on the frequency of the light. In his paper, Compton derived the mathematical relationship between the shift in wavelength and the scattering angle of the X-rays by assuming that each scattered X-ray photon interacted with only one electron. His paper concludes by reporting on experiments which verified his derived relation:

${\displaystyle \lambda '-\lambda ={\frac {h}{m_{e}c}}(1-\cos {\theta }),}$

X

FUNÇÃO GERAL GRACELI DA TRANS- INDETERMINALIDADE PELO SDCTIE GRACELI

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DO SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE  INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS, DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.  E DE ESTADOS TRANSICIONAIS

where

${\displaystyle \lambda }$ is the initial wavelength,

${\displaystyle \lambda '}$ is the wavelength after scattering,

${\displaystyle h}$ is the Planck constant,

${\displaystyle m_{e}}$ is the electron rest mass,

${\displaystyle c}$ is the speed of light, and

${\displaystyle \theta }$ is the scattering angle.

The quantity h/m_ec is known as the Compton wavelength of the electron; it is equal to 2.43×10⁻¹² m. The wavelength shift λ′ − λ is at least zero (for θ = 0°) and at most twice the Compton wavelength of the electron (for θ = 180°).

Compton found that some X-rays experienced no wavelength shift despite being scattered through large angles; in each of these cases the photon failed to eject an electron.^[5] Thus the magnitude of the shift is related not to the Compton wavelength of the electron, but to the Compton wavelength of the entire atom, which can be upwards of 10000 times smaller. This is known as "coherent" scattering off the entire atom since the atom remains intact, gaining no internal excitation.

In Compton's original experiments the wavelength shift given above was the directly-measurable observable. In modern experiments it is conventional to measure the energies, not the wavelengths, of the scattered photons. For a given incident energy ${\displaystyle E_{\gamma }=hc/\lambda }$, the outgoing final-state photon energy, ${\displaystyle E_{\gamma ^{\prime }}}$, is given by

${\displaystyle E_{\gamma ^{\prime }}={\frac {E_{\gamma }}{1+(E_{\gamma }/m_{e}c^{2})(1-\cos \theta )}}.}$

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Derivation of the scattering formula[edit]

Fig. 3: Energies of a photon at 500 keV and an electron after Compton scattering.

A photon γ with wavelength λ collides with an electron e in an atom, which is treated as being at rest. The collision causes the electron to recoil, and a new photon γ' with wavelength λ' emerges at angle θ from the photon's incoming path. Let e' denote the electron after the collision. Compton allowed for the possibility that the interaction would sometimes accelerate the electron to speeds sufficiently close to the velocity of light as to require the application of Einstein's special relativity theory to properly describe its energy and momentum.

At the conclusion of Compton's 1923 paper, he reported results of experiments confirming the predictions of his scattering formula, thus supporting the assumption that photons carry momentum as well as quantized energy. At the start of his derivation, he had postulated an expression for the momentum of a photon from equating Einstein's already established mass-energy relationship of ${\displaystyle E=mc^{2}}$ to the quantized photon energies of ${\displaystyle hf}$, which Einstein had separately postulated. If ${\displaystyle mc^{2}=hf}$, the equivalent photon mass must be ${\displaystyle hf/c^{2}}$. The photon's momentum is then simply this effective mass times the photon's frame-invariant velocity c. For a photon, its momentum ${\displaystyle p=hf/c}$, and thus hf can be substituted for pc for all photon momentum terms which arise in course of the derivation below. The derivation which appears in Compton's paper is more terse, but follows the same logic in the same sequence as the following derivation.

The conservation of energy ${\displaystyle E}$ merely equates the sum of energies before and after scattering.

${\displaystyle E_{\gamma }+E_{e}=E_{\gamma '}+E_{e'}.\!}$

Compton postulated that photons carry momentum;^[5] thus from the conservation of momentum, the momenta of the particles should be similarly related by

${\displaystyle \mathbf {p} _{\gamma }=\mathbf {p} _{\gamma '}+\mathbf {p} _{e'},}$

in which (${\displaystyle {p_{e}}}$) is omitted on the assumption it is effectively zero.

The photon energies are related to the frequencies by

${\displaystyle E_{\gamma }=hf\!}$

${\displaystyle E_{\gamma '}=hf'\!}$

where h is Planck's constant.

Before the scattering event, the electron is treated as sufficiently close to being at rest that its total energy consists entirely of the mass-energy equivalence of its (rest) mass ${\displaystyle m_{e}}$,

${\displaystyle E_{e}=m_{e}c^{2}.\!}$

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After scattering, the possibility that the electron might be accelerated to a significant fraction of the speed of light, requires that its total energy be represented using the relativistic energy–momentum relation

${\displaystyle E_{e'}={\sqrt {(p_{e'}c)^{2}+(m_{e}c^{2})^{2}}}~.}$

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Substituting these quantities into the expression for the conservation of energy gives

${\displaystyle hf+m_{e}c^{2}=hf'+{\sqrt {(p_{e'}c)^{2}+(m_{e}c^{2})^{2}}}.}$

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This expression can be used to find the magnitude of the momentum of the scattered electron,

${\displaystyle p_{e'}^{\,2}c^{2}=(hf-hf'+m_{e}c^{2})^{2}-m_{e}^{2}c^{4}.\qquad \qquad (1)\!}$

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Note that this magnitude of the momentum gained by the electron (formerly zero) exceeds the energy/c lost by the photon,

${\displaystyle {\frac {1}{c}}{\sqrt {(hf-hf'+m_{e}c^{2})^{2}-m_{e}^{2}c^{4}}}>{\frac {hf-hf'}{c}}~.}$

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Equation (1) relates the various energies associated with the collision. The electron's momentum change involves a relativistic change in the energy of the electron, so it is not simply related to the change in energy occurring in classical physics. The change of the magnitude of the momentum of the photon is not just related to the change of its energy; it also involves a change in direction.

Solving the conservation of momentum expression for the scattered electron's momentum gives

${\displaystyle \mathbf {p} _{e'}=\mathbf {p} _{\gamma }-\mathbf {p} _{\gamma '}.}$

Making use of the scalar product yields the square of its magnitude,

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{e'}^{\,2}&=\mathbf {p} _{e'}\cdot \mathbf {p} _{e'}=(\mathbf {p} _{\gamma }-\mathbf {p} _{\gamma '})\cdot (\mathbf {p} _{\gamma }-\mathbf {p} _{\gamma '})\\&=p_{\gamma }^{\,2}+p_{\gamma '}^{\,2}-2p_{\gamma }\,p_{\gamma '}\cos \theta .\end{aligned}}}$

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In anticipation of ${\displaystyle p_{\gamma }c}$ being replaced with ${\displaystyle hf}$, multiply both sides by ${\displaystyle c^{2}}$,

${\displaystyle p_{e'}^{\,2}c^{2}=p_{\gamma }^{\,2}c^{2}+p_{\gamma '}^{\,2}c^{2}-2c^{2}p_{\gamma }\,p_{\gamma '}\cos \theta .}$

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After replacing the photon momentum terms with ${\displaystyle hf/c}$, we get a second expression for the magnitude of the momentum of the scattered electron,

${\displaystyle p_{e'}^{\,2}c^{2}=(hf)^{2}+(hf')^{2}-2(hf)(hf')\cos {\theta }~.\qquad \qquad (2)}$

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Equating the alternate expressions for this momentum gives

${\displaystyle (hf-hf'+m_{e}c^{2})^{2}-m_{e}^{\,2}c^{4}=\left(hf\right)^{2}+\left(hf'\right)^{2}-2h^{2}ff'\cos {\theta },}$

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which, after evaluating the square and canceling and rearranging terms, further yields

${\displaystyle 2hfm_{e}c^{2}-2hf'm_{e}c^{2}=2h^{2}ff'\left(1-\cos \theta \right).}$

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Dividing both sides by ${\displaystyle 2hff'm_{e}c}$ yields

${\displaystyle {\frac {c}{f'}}-{\frac {c}{f}}={\frac {h}{m_{e}c}}\left(1-\cos \theta \right).}$

Finally, since fλ = f ' λ' = c,

${\displaystyle \lambda '-\lambda ={\frac {h}{m_{e}c}}(1-\cos {\theta })~.\qquad \qquad (3)}$

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It can further be seen that the angle φ of the outgoing electron with the direction of the incoming photon is specified by

${\displaystyle \cot \varphi =\left(1+{\frac {hf}{m_{e}c^{2}}}\right)\tan(\theta /2)~.\qquad \qquad (4)}$

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Applications[edit]

Compton scattering[edit]

Compton scattering is of prime importance to radiobiology, as it is the most probable interaction of gamma rays and high energy X-rays with atoms in living beings and is applied in radiation therapy.^[6]

In material physics, Compton scattering can be used to probe the wave function of the electrons in matter in the momentum representation.

Compton scattering is an important effect in gamma spectroscopy which gives rise to the Compton edge, as it is possible for the gamma rays to scatter out of the detectors used. Compton suppression is used to detect stray scatter gamma rays to counteract this effect.

Magnetic Compton scattering[edit]

Magnetic Compton scattering is an extension of the previously mentioned technique which involves the magnetisation of a crystal sample hit with high energy, circularly polarised photons. By measuring the scattered photons' energy and reversing the magnetisation of the sample, two different Compton profiles are generated (one for spin up momenta and one for spin down momenta). Taking the difference between these two profiles gives the magnetic Compton profile (MCP), given by ${\displaystyle J_{\text{mag}}(\mathbf {p} _{z})}$ - a one-dimensional projection of the electron spin density.

${\displaystyle J_{\text{mag}}(\mathbf {p} _{z})={\frac {1}{\mu }}\iint _{-\infty }^{\infty }(n_{\uparrow }(\mathbf {p} )-n_{\downarrow }(\mathbf {p} ))d\mathbf {p} _{x}d\mathbf {p} _{y}}$

where ${\displaystyle \mu }$ is the number of spin-unpaired electrons in the system, ${\displaystyle n_{\uparrow }(\mathbf {p} )}$ and ${\displaystyle n_{\downarrow }(\mathbf {p} )}$ are the three-dimensional electron momentum distributions for the majority spin and minority spin electrons respectively.

Since this scattering process is incoherent (there is no phase relationship between the scattered photons), the MCP is representative of the bulk properties of the sample and is a probe of the ground state. This means that the MCP is ideal for comparison with theoretical techniques such as density functional theory. The area under the MCP is directly proportional to the spin moment of the system and so, when combined with total moment measurements methods (such as SQUID magnetometry), can be used to isolate both the spin and orbital contributions to the total moment of a system. The shape of the MCP also yields insight into the origin of the magnetism in the system.^[7

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